2.4 循环群
我们现在来讨论一个重要的抽象子群示例，即由群 $G$ 的任意元素 $x$ 生成的循环子群。我们使用乘法表示。由 $x$ 生成的循环子群 $H$ 是 $x$ 的所有幂的集合：
本段引入了一个核心概念：循环子群。让我们从头开始，一步步理解。
1. 群 (Group)：首先，回忆一下群的定义。一个群是一个集合 $G$ 配备一个二元运算（这里用乘法表示），满足四个基本性质：封闭性（$a, b \in G \implies a \cdot b \in G$）、结合律（$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$）、单位元存在（存在 $e \in G$ 使得 $a \cdot e = e \cdot a = a$）和逆元存在（对任意 $a \in G$，存在 $a^{-1} \in G$ 使得 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$）。
2. 元素 (Element)：$x$ 是群 $G$ 中的一个任意成员。我们可以从 $G$ 中随便挑选一个元素出来。
3. 子群 (Subgroup)：子群 $H$ 是群 $G$ 的一个子集，它本身也构成一个群，并且使用的运算与 $G$ 相同。这意味着 $H$ 必须满足群的四个性质。
4. “生成” (Generate)：这是这里的关键动作。“由 $x$ 生成”意味着我们要用这个元素 $x$ 作为唯一的“建筑材料”，通过群的运算（乘法）来构建一个子群。
5. 如何构建？：既然我们只有元素 $x$ 和群的运算，我们可以做些什么呢？
* 我们可以将 $x$ 与自身相乘，得到 $x \cdot x = x^2$。
* 继续这个过程，得到 $x^3, x^4, \ldots$。
* 群里必须有单位元，我们通常记作 $1$（在乘法表示下）或 $e$。$x^0$ 被定义为单位元 $1$。
* 群里必须有逆元。$x$ 的逆元是 $x^{-1}$。我们也可以将 $x^{-1}$ 与自身相乘，得到 $(x^{-1})^2 = x^{-2}$，以此类推，得到 $x^{-3}, x^{-4}, \ldots$。
6. 循环子群 (Cyclic Subgroup)：将所有这些可能的结果汇集在一起，就形成了一个集合。这个集合包含了 $x$ 的所有整数次幂（正次幂、零次幂、负次幂）。这个集合被证明是 $G$ 的一个子群，并且是包含 $x$ 的最小的子群。我们称它为由 $x$ 生成的循环子群，记作 $\langle x \rangle$。
7. 乘法表示 (Multiplicative Notation)：文中提到“我们使用乘法表示”。这是一种约定。在讨论抽象的群时，我们通常把运算写成乘法形式（如 $ab$），把单位元写成 $1$。如果群的运算是加法（比如整数群 $(\mathbb{Z}, +)$），那么“幂”就对应于“倍数”（如 $nx$），“单位元”就是 $0$，“逆元”就是相反数（$-x$）。
* $H$：代表由 $x$ 生成的循环子群。这是一个集合的名称。
* $=$：表示 $H$ 这个集合是由右边的元素组成的。
* $\{$ ... $\}$：这是集合的标准表示法，括号内列出了集合的所有元素。
* $x$：我们选定的群 $G$ 中的一个元素，称为生成元 (generator)。
* $x^n$ (幂)：
* 当 $n$ 是正整数时，$x^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x$（$n$ 个 $x$ 相乘）。
* 当 $n=0$ 时，$x^0 = 1$（这里的 $1$ 是群 $G$ 的单位元）。
* 当 $n$ 是负整数时，$x^n = (x^{-1})^{-n}$。例如，$x^{-2} = (x^{-1})^2 = x^{-1} \cdot x^{-1}$。
* ... (省略号)：表示这个序列向左（负无穷方向）和向右（正无穷方向）无限延伸。它涵盖了 $x$ 的所有整数次幂。
这个公式本质上是在说：把 $x$ 的所有你能想到的整数次幂都收集起来，它们就组成了循环子群 $H$。
示例1：整数加法群
* 群 $G$：整数集合 $\mathbb{Z}$，运算为普通加法 $(+)$。这是一个群，单位元是 $0$。
* 选取元素 $x$：我们选择 $x=2$。
* 生成子群：由于运算是加法，我们计算的不是“幂”，而是“倍数”。
* 正倍数：$1 \cdot 2 = 2$, $2 \cdot 2 = 4$, $3 \cdot 2 = 6, \ldots$
* 零倍数：$0 \cdot 2 = 0$ (单位元)。
* 负倍数：$(-1) \cdot 2 = -2$, $(-2) \cdot 2 = -4, \ldots$
* 循环子群 $H$：$\langle 2 \rangle = \{\ldots, -4, -2, 0, 2, 4, \ldots\}$。这就是所有偶数组成的集合，记作 $2\mathbb{Z}$。它确实是 $\mathbb{Z}$ 的一个子群。
示例2：模6乘法群
* 群 $G$：让我们考虑一个更复杂的例子，模7的非零整数在乘法下构成的群 $G = (\mathbb{Z}_7^*, \cdot) = (\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, \cdot \pmod 7)$。单位元是 $1$。
* 选取元素 $x$：我们选择 $x=3$。
* 生成子群：我们来计算 $3$ 的所有幂（模7）：
* $3^0 = 1$
* $3^1 = 3$
* $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$
* $3^3 = 3^2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
* $3^4 = 3^3 \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \equiv 4 \pmod 7$
* $3^5 = 3^4 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \equiv 5 \pmod 7$
* $3^6 = 3^5 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \pmod 7$。我们回到了起点！
* $3^7 = 3^6 \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$。开始循环了。
* 负次幂：$3^{-1}$ 是什么？我们需要找到一个数 $y$ 使得 $3y \equiv 1 \pmod 7$。通过观察上面的列表，$3^5 = 5$，所以 $3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod 7$。因此 $3^{-1} = 5$。我们发现 $3^{-1} = 3^5$，它已经在我们的列表里了。同样，$3^{-2} = (3^2)^{-1} = 2^{-1} = 4$，因为 $2 \cdot 4=8 \equiv 1 \pmod 7$。而 $4$ 也在列表里 ($3^4$)。
* 循环子群 $H$：$\langle 3 \rangle = \{3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5\} = \{1, 3, 2, 6, 4, 5\}$。我们发现，由 $3$ 生成的子群竟然是整个群 $G$！在这种情况下，我们称 $G$ 本身是一个循环群，而 $3$ 是它的一个生成元。
* 误区1：幂的指数和元素不同：$x^n$ 是一个群元素，而 $n$ 是一个整数。它们属于不同的世界。不要混淆 $x^3$ 和数字 $3$。
* 误区2：不同的幂可能得到相同的元素：如示例2所示，$3^0$ 和 $3^6$ 都是元素 $1$。$3^1$ 和 $3^7$ 都是元素 $3$。公式 (2.4.1) 中的列表 ... , x^{-1}, 1, x, ... 只是一个概念上的列表，它可能包含大量重复的元素。子群 $H$ 是这些元素去重后的集合。
* 边界情况1：生成元是单位元：如果 $x=1$（单位元），那么 $1^n=1$ 对所有整数 $n$ 都成立。因此 $\langle 1 \rangle = \{1\}$。这是一个只包含单位元的子群，称为平凡子群。
* 边界情况2：加法与乘法表示的转换：初学者容易在加法群和乘法群之间混淆。务必记住：在加法群中，$x^n$ 对应 $nx$；$x \cdot y$ 对应 $x+y$；$x^{-1}$ 对应 $-x$；单位元 $1$ 对应 $0$。
本段的核心思想是：从一个群 $G$ 中任取一个元素 $x$，我们可以通过反复对 $x$ 和它的逆元 $x^{-1}$ 进行群运算（乘法），来“生成”一个集合。这个集合包含了 $x$ 的所有整数次幂，它本身也构成一个群，是 $G$ 的一个子群，称为由 $x$ 生成的循环子群 $\langle x \rangle$。
引入循环子群的概念是为了研究群的内部结构。循环群（以及循环子群）是最简单、结构最清晰的一类群。它们就像是群世界里的“原子”或“基本构件”。通过理解由单个元素能构建出什么样的结构，我们可以逐步深入到更复杂的群结构中。任何群都包含着许多循环子群，研究它们是分析整个群性质的第一步。
想象你有一把尺子和一支笔，尺子上只有一个刻度，长度为 $x$。你站在原点（单位元 $1$）。
* 向前画一笔，你到达了 $x$。再画一笔，你到达了 $x^2$。这是在探索正幂。
* 向后画一笔（使用尺子的反向），你到达了 $x^{-1}$。再向后画一笔，你到达了 $x^{-2}$。这是在探索负幂。
* 你站立的原点就是 $x^0=1$。
你用这把唯一的尺子能到达的所有点，就构成了循环子群 $\langle x \rangle$。
想象一个圆形的钟面，但上面没有数字。你在钟面的顶部（12点位置）放了一颗珠子，这代表单位元 $1$。现在，你规定一个固定的旋转角度，比如顺时针旋转60度。这个“旋转60度”的操作就是你的生成元 $x$。
* 从顶部珠子开始，旋转一次，你在新的位置（2点钟）放一颗珠子，这是 $x$。
* 再旋转一次，你在4点钟位置放一颗珠子，这是 $x^2$。
* 如此继续，$x^3$（6点），$x^4$（8点），$x^5$（10点），$x^6$（12点）。你回到了起点！
* 逆时针旋转60度就是 $x^{-1}$，它会带你到10点钟位置，也就是 $x^5$ 所在的地方。
钟面上所有被你放上珠子的位置，共同构成了由“旋转60度”这个操作生成的循环子群。这个子群只有6个元素。
这是包含 $x$ 的 $G$ 的最小子群，通常表示为 $\langle x\rangle$。但要正确理解 (2.4.1)，我们必须记住符号 $x^{n}$ 表示群中以特定方式获得的元素。不同的幂可能表示相同的元素。例如，如果 $G$ 是乘法群 $\mathbb{R}^{\times}$ 且 $x=-1$，则列表中的所有元素都等于 1 或 -1，并且 $H$ 是集合 $\{1,-1\}$。
1. 最小子群：为什么说 $\langle x \rangle$ 是包含 $x$ 的“最小”子群？
* 首先，$\langle x \rangle$ 必须是一个子群。（我们还没严格证明，但直观上它是封闭的：$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$；有单位元 $x^0=1$；有逆元 $(x^a)^{-1} = x^{-a}$；结合律从大群 $G$ 继承而来）。
* 其次，它必须包含 $x$。这是显然的，因为 $x=x^1 \in \langle x \rangle$。
* “最小”体现在：任何其他包含 $x$ 的子群 $K$（即 $x \in K \subseteq G$），都必须包含 $\langle x \rangle$。为什么？因为 $K$ 是一个子群，它对群运算必须是封闭的。既然 $x \in K$，那么 $x \cdot x = x^2$ 也必须在 $K$ 中。同理，$x^3, x^4, \ldots$ 也都在 $K$ 中。因为 $K$ 是子群，它必须有单位元 $1$。也必须有 $x$ 的逆元 $x^{-1}$，以及 $x^{-1}$ 的所有幂。所以，$\langle x \rangle$ 的所有元素都必须在 $K$ 中。这意味着 $\langle x \rangle \subseteq K$。因此，$\langle x \rangle$ 是所有包含 $x$ 的子群中最小的一个。
2. 符号 $\langle x \rangle$：这是循环子群的标准记法，读作“由x生成的子群”。尖括号 $\langle \rangle$ 在代数中通常表示“由...生成”的结构（比如子群、理想、子空间等）。
3. $x^n$ 的本质：$x^n$ 不是一个数字，而是一个群中的元素。它是通过对 $x$ 这个元素执行 $n$ 次（或 $|n|$ 次逆元）运算得到的结果。这个过程是“以特定方式获得”，但结果可能并不唯一。
4. 不同幂，相同元素：这是理解有限循环群的关键。想象一下在钟面上旋转，旋转 $60^\circ$ 和旋转 $420^\circ$ ($60^\circ+360^\circ$) 最终指向同一个位置。同样，在群中，$x^r$ 和 $x^s$ 可能代表同一个群元素，即使整数 $r$ 和 $s$ 不相等。
原文给出的例子：
* 群 $G$：实数乘法群 $\mathbb{R}^{\times} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$，运算是普通乘法。
* 选取元素 $x = -1$。
* 生成子群 $\langle -1 \rangle$：
* $(-1)^0 = 1$
* $(-1)^1 = -1$
* $(-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$
* $(-1)^3 = (-1)^2 \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$
* $(-1)^{-1} = -1$ (因为 $(-1) \cdot (-1) = 1$)
* $(-1)^{-2} = ((-1)^{-1})^2 = (-1)^2 = 1$
* 观察：我们发现，无论整数次幂 $n$ 是多少，结果只可能是 $1$（如果 $n$ 是偶数）或 $-1$（如果 $n$ 是奇数）。
* 结论：因此，(2.4.1) 中那个无限长的列表 $\left\{\ldots, (-1)^{-2}, (-1)^{-1}, 1, -1, (-1)^{2}, \ldots\right\}$ 实际上是 $\left\{\ldots, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots\right\}$。去掉重复元素后，这个集合就是 $H = \{1, -1\}$。这是一个包含两个元素的有限循环群。
* 不要将无限列表与无限群混淆：公式 (2.4.1) 的写法总是无限的，但这不代表子群 $H$ 的元素个数是无限的。如 $\langle -1 \rangle$ 的例子所示，这个无限过程可能只产生有限个不同的元素。
* 最小 vs 最小个数：“最小子群”指的是集合包含关系上的最小（即其他任何含 $x$ 的子群都包含它），而不是元素个数最少。当然，这也间接导致了它的元素个数是所有含 $x$ 的子群中最少的。
本段强调了循环子群 $\langle x \rangle$ 的两个关键特性：它是包含 $x$ 的最小子群，以及它的元素列表 $x^n$ 中可能存在大量重复。通过一个具体的例子 $\langle -1 \rangle = \{1, -1\}$，直观地展示了无限的幂如何生成一个有限的群。
这一段是为了深化对循环子群定义的理解，并引出下一个核心问题：我们如何确定 $\langle x \rangle$ 中到底有多少个不同的元素？幂什么时候会重复？这为后续引入元素的“阶” (order) 概念铺平了道路。
继续尺子的比喻。如果你在一个周长为 $L$ 的圆形跑道上，你的尺子长度是 $x$。你从起点出发，每次向前量一个尺子的长度。
* $x, 2x, 3x, \ldots$
* 可能在某一步 $nx$，你正好回到了起点（或者超过起点 $k$ 圈的位置）。例如，如果跑道周长是12米，你的尺子长3米，那么你走4步（12米）就回到了起点。你走5步（15米）和你走1步（3米）到达的位置是一样的。
* 这个跑道上你所有能踏足的点，就是循环子群。虽然你可以无限走下去（幂次无限），但你踏足的位置只有有限个。
想象你在玩一个只有“前进一格”按钮的视频游戏。你的角色在一个一维的地图上。
* 无限地图：如果地图是无限长的直线，你每次按按钮，角色就前进一格。$x, x^2, x^3, \ldots$ 每一个位置都是新的。这就是无限循环群。
* 循环地图：如果地图是一个圈，比如《吃豆人》游戏，从右边出去会从左边进来。这个地图只有 $n$ 个格子。你按按钮 $n$ 次后，角色会回到起点。你按 $n+1$ 次和按 1 次，角色的位置是一样的。这就是有限循环群。$x^n=1$（回到起点），$x^{n+1}=x$。
有两种可能性：$x$ 的幂表示不同的元素，或者它们不表示。我们分析 $x$ 的幂不相同的情况。
命题 2.4.2 设 $\langle x\rangle$ 是由元素 $x$ 生成的群 $G$ 的循环子群，并设 $S$ 表示使得 $x^{k}=1$ 的整数 $k$ 的集合。
(a) 集合 $S$ 是加法群 $\mathbb{Z}^{+}$ 的子群。
(b) 两个幂 $x^{r}=x^{s}$，其中 $r \geq s$，当且仅当 $x^{r-s}=1$，即当且仅当 $r-s$ 在 $S$ 中时相等。
(c) 假设 $S$ 不是平凡子群。则 $S=\mathbb{Z} n$ 对于某个正整数 $n$ 成立。幂 $1, x, x^{2}, \ldots, x^{n-1}$ 是子群 $\langle x\rangle$ 的不同元素，且 $\langle x\rangle$ 的阶为 $n$。
这里开始对幂次重复的现象进行系统性分析。文章首先将情况分为两类：
1. 所有幂都不同：$x^r = x^s \iff r=s$。这会产生一个无限循环群。
2. 存在不同的幂代表相同的元素：存在 $r \neq s$ 使得 $x^r = x^s$。这会产生一个有限循环群。
命题 2.4.2 聚焦于第二种情况。
(a) 部分的解释：
* 定义集合 S：首先定义了一个非常重要的辅助工具——集合 $S$。$S$ 里面装的不是群元素，而是整数。哪些整数呢？所有能让 $x^k=1$ 成立的指数 $k$。$S = \{ k \in \mathbb{Z} \mid x^k = 1 \}$。
* 证明 S 是 $\mathbb{Z}$ 的子群：要证明 $S$ 是整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 的子群，我们需要验证三点：
1. 封闭性：如果 $k \in S$ 且 $\ell \in S$，那么它们的和 $k+\ell$ 是否也在 $S$ 中？
* $k \in S$ 意味着 $x^k = 1$。
* $\ell \in S$ 意味着 $x^\ell = 1$。
* 那么 $x^{k+\ell} = x^k \cdot x^\ell$ （这是指数的基本性质，源于群的结合律）。
* 代入后得到 $x^{k+\ell} = 1 \cdot 1 = 1$。
* 这说明 $k+\ell$ 也满足进入 $S$ 的条件，所以 $k+\ell \in S$。封闭性满足。
2. 单位元：$\mathbb{Z}$ 的单位元是 $0$。$0$ 在不在 $S$ 里？
* 我们需要检查 $x^0$ 是否等于 $1$。
* 根据定义，$x^0$ 就是群的单位元 $1$。
* 所以 $x^0=1$ 恒成立，因此 $0 \in S$。单位元存在。
3. 逆元：如果 $k \in S$，那么它的加法逆元 $-k$ 是否也在 $S$ 中？
* $k \in S$ 意味着 $x^k=1$。
* 我们需要检查 $x^{-k}$ 是否等于 $1$。
* $x^{-k}$ 是 $x^k$ 的逆元，即 $x^{-k} = (x^k)^{-1}$。
* 代入后得到 $x^{-k} = (1)^{-1}$。
* 单位元的逆元是它自身，所以 $(1)^{-1}=1$。
* 因此 $x^{-k}=1$，这说明 $-k \in S$。逆元存在。
* 结论：三点都满足，所以 $S$ 是 $(\mathbb{Z}, +)$ 的一个子群。
(b) 部分的解释：
* 核心问题：这一部分建立了“两个幂相等”和“某个幂等于1”之间的桥梁。
* 推导：假设我们有两个幂相等，$x^r = x^s$，并且不妨设 $r \ge s$。
* 我们可以在等式两边同时乘以 $x^s$ 的逆元，即 $x^{-s}$。
* $x^r \cdot x^{-s} = x^s \cdot x^{-s}$
* 根据指数法则，左边是 $x^{r-s}$。
* 右边是元素与它的逆元相乘，结果是单位元 $1$。
* 所以，我们得到 $x^{r-s} = 1$。
* 根据 $S$ 的定义，这就意味着整数 $r-s$ 在集合 $S$ 中。
* 反向推导：如果 $r-s \in S$，那么根据定义 $x^{r-s}=1$。两边同时乘以 $x^s$，得到 $x^{r-s} \cdot x^s = 1 \cdot x^s$，即 $x^r=x^s$。
* 结论：“$x^r = x^s$” 和 “$r-s \in S$” 是等价的（当且仅当）。这个结论非常强大，它把群元素是否相等的问题，转化为了它们指数的差是否属于集合 $S$ 的问题。
(c) 部分的解释：
* 前提：假设 $S$ 不是平凡子群，即 $S \neq \{0\}$。这意味着除了 $k=0$ 之外，还存在其他非零整数 $k$ 使得 $x^k=1$。如果 $k$ 在 $S$ 中，$-k$ 也在 $S$ 中，所以 $S$ 中必然有正整数。
* 引用整数子群定理：这里用到了一个关于整数群 $\mathbb{Z}$ 的基本定理（即命题中的 定理 2.3.3）：$\mathbb{Z}$ 的任何非平凡子群都具有 $\mathbb{Z}n$ (或写作 $n\mathbb{Z}$) 的形式，其中 $n$ 是该子群中最小的正整数。$n\mathbb{Z}$ 指的是所有 $n$ 的整数倍构成的集合 $\{\ldots, -2n, -n, 0, n, 2n, \ldots\}$。
* 应用到 S：既然 $S$ 是 $\mathbb{Z}$ 的一个非平凡子群，那么必然存在一个最小的正整数 $n$，使得 $S$ 就是所有 $n$ 的倍数的集合，即 $S = n\mathbb{Z}$。这个 $n$ 有一个特殊的名字，它就是元素 $x$ 的阶 (order)。
* 推论1：子群的元素：
* 我们想知道 $\langle x \rangle$ 里到底有哪些不同的元素。任取一个幂 $x^k$。
* 对指数 $k$ 做带余除法：$k = qn + r$，其中 $q$ 是商， $r$ 是余数，且 $0 \le r < n$。
* 那么 $x^k = x^{qn+r} = x^{qn} \cdot x^r = (x^n)^q \cdot x^r$。
* 因为 $n \in S$（它是 $S$ 的生成元），所以 $x^n=1$。
* 因此，$x^k = (1)^q \cdot x^r = 1 \cdot x^r = x^r$。
* 这说明，任何一个 $x$ 的幂次，其结果都等同于 $x$ 的 $0$ 到 $n-1$ 次幂中的一个。所以 $\langle x \rangle = \{x^0, x^1, \ldots, x^{n-1}\} = \{1, x, \ldots, x^{n-1}\}$。
* 推论2：这些元素是互不相同的：
* 我们需要证明 $1, x, \ldots, x^{n-1}$ 这 $n$ 个元素是两两不同的。
* 使用反证法：假设存在两个不同的指数 $r, s$ 在范围 $0 \le s < r < n$ 内，使得 $x^r = x^s$。
* 根据 (b) 部分的结论，这意味着 $r-s \in S$。
* 我们知道 $0 < r-s < n$。
* 这就产生了一个矛盾！因为 $n$ 被定义为 $S$ 中“最小的正整数”，而我们现在找到了一个更小的正整数 $r-s$ 也在 $S$ 中。
* 因此，最初的假设（存在相等的元素）是错误的。这 $n$ 个元素必定是互不相同的。
* 结论：子群 $\langle x \rangle$ 恰好由 $n$ 个不同的元素 $1, x, \ldots, x^{n-1}$ 组成。因此，子群的阶（元素个数）就是 $n$。
继续使用 示例2：模7乘法群
* 群 $G = (\mathbb{Z}_7^*, \cdot)$，元素 $x=3$。
* 寻找集合 S：我们要找到所有整数 $k$ 使得 $3^k \equiv 1 \pmod 7$。
* $3^1=3$, $3^2=2$, $3^3=6$, $3^4=4$, $3^5=5$, $3^6=1$。
* 第一个让 $3^k=1$ 的正整数 $k$ 是 $6$。
* 继续算下去，$3^{12}=(3^6)^2=1^2=1$, $3^{18}=1, \ldots$。
* $3^{-6}=(3^6)^{-1}=1^{-1}=1$。
* 所以，$S = \{k \in \mathbb{Z} \mid 3^k \equiv 1 \pmod 7 \} = \{\ldots, -12, -6, 0, 6, 12, \ldots\} = 6\mathbb{Z}$。
* (a) S 是 Z 的子群：$6\mathbb{Z}$ 显然是整数群的子群。
* (b) 幂次相等：我们来验证一下。比如，$3^8$ 和 $3^2$ 是否相等？
* $3^8 = 3^6 \cdot 3^2 = 1 \cdot 3^2 = 3^2 = 2$。它们相等。
* 根据命题 (b)，这当且仅当指数的差 $8-2=6$ 在 $S$ 中。
* $6$ 确实在 $S=6\mathbb{Z}$ 中。结论正确。
* (c) 子群的结构：
* $S=6\mathbb{Z}$，最小的正整数 $n=6$。
* 命题 (c) 预测 $\langle 3 \rangle$ 的阶是 $6$，并且由 $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5$ 这 $6$ 个不同元素组成。
* 这与我们之前手动计算的结果 $\{1, 3, 2, 6, 4, 5\}$ 完全吻合。
示例3：一个更小的例子
* 群：对称群 $S_3 = \{e, \rho, \rho^2, \mu, \mu\rho, \mu\rho^2\}$，其中 $\rho$ 是旋转120度，$\mu$ 是一个翻转。
* 选取元素 $x = \rho$。
* 寻找集合 S：
* $\rho^1 = \rho$
* $\rho^2 = \rho^2$
* $\rho^3 = e$ (旋转3次120度等于旋转360度，回到原状，即单位元 $e$，这里我们用 $e$ 代替 $1$)
* 所以，使得 $\rho^k=e$ 的最小正整数是 $n=3$。
* $S = 3\mathbb{Z}$。
* 子群的结构：$\langle \rho \rangle = \{\rho^0, \rho^1, \rho^2\} = \{e, \rho, \rho^2\}$。这是一个阶为 3 的循环子群。
* S 是整数的集合：再次强调，$S$ 中的元素是指数 $k$，不是群元素 $x^k$。$S$ 存在于 $\mathbb{Z}$ 的世界，而 $\langle x \rangle$ 存在于 $G$ 的世界。命题2.4.2 建立了两个世界之间的联系。
* 平凡子群 S={0} 的情况：命题 (c) 的前提是 $S \neq \{0\}$。如果 $S=\{0\}$，这意味着唯一能使 $x^k=1$ 的整数是 $k=0$。根据 (b)，$x^r=x^s \iff r-s=0 \iff r=s$。在这种情况下，$x$ 的所有不同次幂都会得到不同的群元素。因此 $\langle x \rangle$ 是一个无限循环群。
* n 的定义：$n$ 是 $S$ 中最小的“正”整数。$0$ 在 $S$ 中，但它不是正数。负数也不是。这个“最小正整数”是关键。
命题 2.4.2 是理解循环群结构的核心。它通过引入辅助集合 $S$（所有使 $x^k=1$ 的指数 $k$），揭示了以下规律：
(a) $S$ 本身是整数加法群的一个子群。
(b) 两个幂 $x^r$ 和 $x^s$ 相等，等价于它们的指数差 $r-s$ 在 $S$ 中。
(c) 如果存在非零的幂让 $x^k=1$，那么 $S$ 必然是某个最小正整数 $n$ 的所有倍数 ($n\mathbb{Z}$)。这个 $n$ 就是循环子群 $\langle x \rangle$ 的元素个数（阶），且子群恰好由 $1, x, \ldots, x^{n-1}$ 这 $n$ 个不同的元素构成。
此命题的目的是将一个看似混乱的问题（幂次的重复）转化为一个非常清晰的代数结构问题。它表明，有限循环群的行为完全由一个数字——它的阶 $n$ ——来决定。这使得对循环群的分析变得异常简单和规律化。它也为“元素的阶”这一重要概念提供了坚实的理论基础。
想象一条无限长的数字轴，这是整数群 $\mathbb{Z}$。集合 $S=n\mathbb{Z}$ 就像是在这条轴上每隔 $n$ 个单位设置一个“传送门”。这些传送门位于 $0, n, -n, 2n, -2n, \ldots$。
现在，你有一个映射（函数），它将整数 $k$ 映射到群元素 $x^k$。命题 (b) 说，两个整数 $r$ 和 $s$ 会被映射到同一个群元素，当且仅当从 $s$ 走到 $r$ 的距离 $r-s$ 恰好是一个“传送门”的位置。
命题 (c) 进一步说，这个映射具有周期性，周期就是 $n$。所有整数 $k$ 最终都会被映射到前 $n$ 个位置 $0, 1, \ldots, n-1$ 所对应的群元素 $x^0, x^1, \ldots, x^{n-1}$ 上。这就像是把无限长的整数轴“卷起来”，缠绕在一个有 $n$ 个刻度的圆盘上。整数 $k$ 对应于圆盘上的第 $k \pmod n$ 个刻度。
想象一串无限长的、编号从负无穷到正无穷的彩灯。这个编号就是指数 $k \in \mathbb{Z}$。
现在，你只有 $n$ 种颜色的灯泡（比如 $n=6$，红、橙、黄、绿、蓝、紫）。
你按照编号顺序给彩灯上色：
* 第0号灯，上第0种颜色（比如白色，代表单位元）。
* 第1号灯，上第1种颜色（红）。
* ...
* 第 $n-1$ 号灯，上第 $n-1$ 种颜色（紫）。
* 第 $n$ 号灯，你发现颜色用完了，于是重新从第0种颜色开始（白色）。
* 第 $n+1$ 号灯，用第1种颜色（红）。
... 这个过程无限进行下去。
彩灯的“编号” $k$ 就是指数，彩灯的“颜色”就是群元素 $x^k$。
集合 $S=n\mathbb{Z}$ 就是所有上白色（第0种颜色）的灯的编号集合 $\{0, n, -n, \ldots\}$。
循环子群 $\langle x \rangle$ 就是这 $n$ 种不同颜色的集合。它的阶是 $n$。
证明。(a) 如果 $x^{k}=1$ 且 $x^{\ell}=1$，则 $x^{k+\ell}=x^{k} x^{\ell}=1$。这表明如果 $k$ 和 $\ell$ 在 $S$ 中，则 $k+\ell$ 也在 $S$ 中。因此，子群的第一个性质 (2.3.1) 得到了验证。此外，$x^{0}=1$，所以 0 在 $S$ 中。最后，如果 $k$ 在 $S$ 中，即 $x^{k}=1$，那么 $x^{-k}=\left(x^{k}\right)^{-1}=1$ 也成立，所以 $-k$ 在 $S$ 中。
(b) 这由消去律 2.2.3 得到。
(c) 假设 $S \neq\{0\}$。定理 2.3.3 表明 $S=\mathbb{Z} n$，其中 $n$ 是 $S$ 中的最小正整数。如果 $x^{k}$ 是任意幂，我们将 $k$ 除以 $n$，写成 $k=q n+r$，其中 $q$ 和 $r$ 是整数，且 $r$ 在 $0 \leq r<n$ 的范围内。则 $x^{q n}=1^{q}=1$，且 $x^{k}=x^{q n} x^{r}=x^{r}$。因此 $x^{k}$ 等于幂 $1, x, \ldots, x^{n-1}$ 中的一个。根据 (b)，这些幂是不同的，因为 $x^{n}$ 是等于 1 的最小正幂。 $\square$
命题 (c) 部分描述的群 $\langle x\rangle=\left\{1, x, \ldots, x^{n-1}\right\}$ 称为 $n$ 阶循环群。它被称为循环的，因为通过 $x$ 的重复乘法会循环遍历这 $n$ 个元素。
群中的元素 $x$ 具有阶 $n$ 如果 $n$ 是满足 $x^{n}=1$ 的最小正整数，这与说由 $x$ 生成的循环子群 $\langle x\rangle$ 具有阶 $n$ 是同一回事。
这部分首先给出了命题2.4.2的简要证明，然后正式定义了循环群和元素的阶。
证明部分的解释：
* 对(a)的证明：这正是我们在 1.3.2 节中详细展开的逻辑。它验证了集合 $S$ 满足子群的三个条件：对加法封闭、包含加法单位元0、对每个元素包含其加法逆元。
* 对(b)的证明：原文说“这由消去律 2.2.3 得到”。让我们把这步展开。
* 消去律说：在群中，如果 $ac=bc$，那么可以两边消去 $c$ 得到 $a=b$。
* 我们要证明 $x^r=x^s \iff x^{r-s}=1$（设 $r \ge s$）。
* 方向 $\implies$：假设 $x^r=x^s$。可以写成 $x^{r-s}x^s = 1 \cdot x^s$（如果 $r>s$）或 $x^r=x^r$。更严谨地，我们在 $x^r=x^s$ 两边右乘 $x^{-s}$，得到 $x^r x^{-s} = x^s x^{-s}$，即 $x^{r-s}=1$。这里用到的其实就是逆元的性质。
* 方向 $\impliedby$：假设 $x^{r-s}=1$。两边右乘 $x^s$，得到 $x^{r-s}x^s = 1 \cdot x^s$，即 $x^r=x^s$。
* 所以，虽然原文提到了消去律，但更直接的理解是通过逆元和单位元的性质来推导。消去律本身就是逆元性质的一个推论。
* 对(c)的证明：这也与我们在 1.3.2 节的分析一致。它包括两个主要步骤：
1. 任意幂的化简：通过带余除法 $k=qn+r$，证明任何 $x^k$ 都等于 $\{1, x, \ldots, x^{n-1}\}$ 中的一个元素 $x^r$。关键在于 $x^n=1$。
2. 证明元素不重复：通过反证法，利用 $n$ 是使得 $x^n=1$ 的“最小正整数”这一性质，证明了如果 $0 \le s < r < n$，则 $x^r \neq x^s$。
定义部分的解释：
* $n$ 阶循环群 (Cyclic group of order n)：一个由 $n$ 个元素组成的循环群。根据命题2.4.2(c)，我们知道这样的群可以被写成 $\langle x \rangle = \{1, x, \ldots, x^{n-1}\}$ 的形式，其中 $x^n=1$ 且 $n$ 是满足此条件的最小正整数。
* 为什么叫“循环”：这个名字非常直观。当你不断用生成元 $x$ 去乘的时候，你会得到序列 $x, x^2, x^3, \ldots, x^{n-1}, x^n=1, x^{n+1}=x, \ldots$。元素列表以 $n$ 为周期不断循环出现。
* 元素的阶 (Order of an element)：这是本节最重要的定义。一个元素 $x$ 的阶是满足 $x^n=1$ 的最小正整数 $n$。
* “最小”是关键词。例如，在 $\mathbb{Z}_7^*$ 中，对于 $x=2$，我们有 $2^3=8 \equiv 1$。我们也有 $2^6=64 \equiv 1$。但因为 $3 < 6$，所以 $2$ 的阶是 $3$，而不是 $6$。
* “正”也很重要。$x^0=1$ 对任何 $x$ 都成立，但 $0$ 不是正整数，所以阶永远不可能是 $0$。
* 两个“阶”的等价性：一个元素 $x$ 的阶为 $n$，和由它生成的循环子群 $\langle x \rangle$ 的阶（即元素个数）为 $n$，这两个说法是完全等价的。这是命题2.4.2(c)的直接结果。这个等价性非常有用，它把一个关于元素性质的数字（元素的阶）和一个关于子群规模的数字（子群的阶）联系在了一起。
示例1：对称群 $S_3$
* 原文提到：“在对称群 $S_{3}$ 的通常表示中，元素 $x$ 具有阶 3，而 $y$ 具有阶 2。”
* 让我们验证一下。通常的表示是 $x=\rho$（旋转120度），$y=\mu$（一个翻转）。
* 元素 $\rho$ 的阶：
* $\rho^1 = \rho \neq e$
* $\rho^2 = \rho^2 \neq e$
* $\rho^3 = e$
* 满足 $\rho^n=e$ 的最小正整数 $n$ 是 $3$。所以 $\rho$ 的阶是 $3$。
* 同时，$\langle \rho \rangle = \{e, \rho, \rho^2\}$，这个子群的阶也是 $3$。两者吻合。
* 元素 $\mu$ 的阶：
* $\mu^1 = \mu \neq e$
* $\mu^2 = e$ (翻转两次等于没翻转)
* 满足 $\mu^n=e$ 的最小正整数 $n$ 是 $2$。所以 $\mu$ 的阶是 $2$。
* 同时，$\langle \mu \rangle = \{e, \mu\}$，这个子群的阶也是 $2$。两者吻合。
示例2：单位元的阶
* 原文提到：“在任何群中，单位元是唯一阶为 1 的元素。”
* 设单位元为 $e$。我们要找满足 $e^n=e$ 的最小正整数 $n$。
* $e^1 = e$。
* 最小的正整数就是 $1$。所以单位元的阶是 $1$。
* 反过来，如果一个元素 $x$ 的阶是 $1$，那么根据定义，满足 $x^n=1$ 的最小正整数是 $n=1$。这意味着 $x^1=1$，即 $x=1$。所以只有单位元的阶是 $1$。
* 阶 (order) vs 群的阶 (order of a group)：这两个术语都用“阶”，但含义不同。
* 元素的阶是一个数字 $n$，指 $x^n=1$ 的最小正整数 $n$。
* 群的阶是群中元素的数量。
* 拉格朗日定理（后面会学到）指出，在有限群中，元素的阶必须整除群的阶。
* 不是所有元素都有有限阶：在一个群中，可能有些元素无论取多大的正整数次幂，结果都不等于单位元。这些元素被称为具有无限阶。
本段落正式定义了元素 $x$ 的阶为满足 $x^n=1$ 的最小正整数 $n$。并且阐明了一个关键的等价关系：元素的阶等于由该元素生成的循环子群的阶。这为我们提供了一个量化循环子群大小的直接方法。
“阶”是群论中继“群”、“子群”之后又一个极其重要的基本概念。它是描述群中元素行为的基本属性。通过计算元素的阶，我们可以立刻知道它能生成多大的循环子群，以及它的幂循环的周期。这个概念是后续许多重要定理（如拉格朗日定理、欧拉定理）的基础。
元素的阶就像是它的“生命周期”或“循环周期”。
想象一个元素是一个有固定轨迹的行星。它从“标准位置”（单位元）出发，沿着轨道运行。它的阶 $n$ 就是它绕轨道一圈，第一次回到“标准位置”所需要的时间（或步数）。
* 如果一个行星永远不会回到起点（除非它从未离开），那它就具有无限阶。
* 如果它绕 $n$ 步回到起点，那么它的轨迹上就有 $n$ 个不同的停靠点，这就是它生成的循环子群。
想象你在听一段循环播放的音乐片段。
* 元素 $x$ 是“播放下一个音符”这个操作。
* 单位元 $1$ 是第一个音符。
* 你不断地“播放下一个音符”，音符序列为 $x, x^2, x^3, \ldots$
* 元素的阶 $n$ 是这段音乐片段中音符的总数。当你播放完第 $n$ 个音符后，下一个音符 ($x^n$) 又回到了第一个音符 ($1$)。
* 由这个操作生成的循环子群就是这段音乐中所有不同音符的集合。
如果对于所有 $n>0$ 都有 $x^{n} \neq 1$，则称 $x$ 具有无限阶。矩阵 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 在 $G L_{2}(\mathbb{R})$ 中具有无限阶，而 $\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 0}\end{array}\right]$ 具有阶 6。
当 $x$ 具有无限阶时，群 $\langle x\rangle$ 被称为无限循环。我们对此情况不会多做讨论。
1. 无限阶 (Infinite Order)：这个定义是对有限阶的补充。如果一个元素 $x$，你对它取任何正整数次幂 $x^1, x^2, x^3, \ldots$，结果永远不等于单位元 $1$，那么这个元素就具有无限阶。
* 回顾我们的辅助集合 $S = \{k \in \mathbb{Z} \mid x^k=1\}$。对于无限阶的元素，$S$ 中唯一的元素就是 $0$。即 $S=\{0\}$。
* 根据命题2.4.2(b)，$x^r=x^s \iff r-s \in S \iff r-s=0 \iff r=s$。这意味着 $x$ 的所有不同整数次幂都对应不同的群元素。
2. 无限循环群 (Infinite Cyclic Group)：由一个无限阶的元素 $x$ 生成的群 $\langle x \rangle$ 就是一个无限循环群。它的元素集合是 $\{\ldots, x^{-2}, x^{-1}, 1, x, x^2, \ldots\}$，并且所有这些元素都是互不相同的。所有无限循环群在结构上都是和整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$ 同构的。
3. 矩阵示例分析：
* 群 $G$：$G L_{2}(\mathbb{R})$，所有 $2 \times 2$ 的实数可逆矩阵构成的群，运算是矩阵乘法。单位元是单位矩阵 $I = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$。
* 第一个矩阵：设 $A = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$。我们来计算它的幂。
* $A^1 = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
* $A^2 = \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
* $A^3 = A^2 \cdot A = \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
* 通过归纳法可以证明：$A^n = \left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 对于所有正整数 $n$ 成立。
* 我们要判断是否存在正整数 $n$ 使得 $A^n = I = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$。
* $\left[\begin{array}{ll}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 当且仅当 $n=0$。
* 但我们要求的是正整数 $n$。既然不存在这样的正整数 $n$，所以矩阵 $A$ 具有无限阶。
* 第二个矩阵：设 $B = \left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 0}\end{array}\right]$。我们计算它的幂。
* $B^1 = \left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 0}\end{array}\right]$
* $B^2 = \left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 0}\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 0}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & -1}\end{array}\right]$
* $B^3 = B^2 \cdot B = \left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & -1}\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & 0}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & -1}\end{array}\right] = -I$
* $B^4 = B^3 \cdot B = -I \cdot B = -B = \left[\begin{array}{rr}-1 & -1 \\ 1 & 0}\end{array}\right]$
* $B^5 = B^3 \cdot B^2 = -I \cdot B^2 = -B^2 = \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 1}\end{array}\right]$
* $B^6 = B^3 \cdot B^3 = (-I) \cdot (-I) = I = \left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
* 我们找到了第一个正整数 $n=6$，使得 $B^n=I$。因此，矩阵 $B$ 的阶为 $6$。
除了原文的例子：
无限阶示例：
* 群：整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$。
* 元素：$x=1$。
* 阶：我们需要找到最小的正整数 $n$ 使得 $n \cdot 1 = 0$ (这里的“幂”是倍数，“1”是单位元0)。
* 显然，不存在这样的正整数 $n$。所以 $1$ 在 $(\mathbb{Z}, +)$ 中具有无限阶。
* 它生成的子群 $\langle 1 \rangle$ 就是 $\mathbb{Z}$ 本身，这是一个无限循环群。
有限阶示例：
* 群：复数乘法群 $(\mathbb{C}^{\times}, \cdot)$。
* 元素：$x = i$ (虚数单位)。
* 阶：
* $i^1 = i$
* $i^2 = -1$
* $i^3 = -i$
* $i^4 = 1$
* 最小的正整数 $n$ 使得 $i^n=1$ 是 $n=4$。所以 $i$ 的阶是 $4$。
* 它生成的循环子群是 $\langle i \rangle = \{1, i, -1, -i\}$。
* 无限阶不等于不存在：说一个元素有无限阶，不代表它很特殊或不存在，它只是描述了它的一种行为模式：永不通过幂次回到单位元。
* 矩阵的阶可能很难计算：对于一个随机给出的矩阵，判断它的阶是有限还是无限，以及计算出具体的阶，可能是一个复杂的计算问题。上面给出的例子是经过精心挑选的。
本段定义了无限阶的概念，即一个元素的任何正整数次幂都不等于单位元。由无限阶的元素生成的子群是无限循环群，其所有幂元素都是不同的。通过两个 $2 \times 2$ 矩阵的例子，具体展示了如何计算矩阵的幂，并判断其是无限阶还是有限阶。
这部分内容是为了完善阶的理论，覆盖所有可能的情况。群可以分为有限群和无限群，同样，元素的阶也可以分为有限和无限。这有助于我们对群的结构进行更全面的分类和理解。同时，通过矩阵的例子，将抽象的群论概念与线性代数中的具体对象联系起来，丰富了我们对群的认知。
回到行星轨道的模型：
* 有限阶的元素就像地球绕太阳，每365天（阶）回到同一点。
* 无限阶的元素就像一颗探测器，比如旅行者1号，它被发射出去，沿着一条双曲线或抛物线轨道飞向宇宙深处，永远不会再回到太阳系（我们的单位元）。它的路径上每一个点都是独一无二的。
想象你在一个无限长的楼梯上行走。
* 无限阶：你只能上楼，每一步都到达一个新的、更高的楼层。你永远回不到地面（单位元）。
* 有限阶：这个楼梯其实是埃舍尔笔下的那种无限循环的楼梯。你上了 $n$ 阶之后，发现自己竟然回到了地面。这个 $n$ 就是阶。
命题 2.4.3 设 $x$ 是群中一个有限阶 $n$ 的元素，并设 $k$ 是一个整数，写为 $k=n q+r$，其中 $q$ 和 $r$ 是整数，且 $r$ 在 $0 \leq r<n$ 的范围内。
* $x^{k}=x^{r}$。
* $x^{k}=1$ 当且仅当 $r=0$。
* 设 $d$ 是 $k$ 和 $n$ 的最大公约数。$x^{k}$ 的阶等于 $n / d$。 $\square$
这个命题进一步探讨有限阶 元素的性质，特别是其幂 $x^k$ 的性质。
* 前提条件：
* $x$ 是一个有限阶 元素，阶为 $n$。这意味着 $x^n=1$，且 $n$ 是最小的正整数。
* $k$ 是任意一个整数。
* $k=nq+r$ 是对 $k$ 做带余除法，余数 $r$ 的范围是 $0 \le r < n$。
* 第一点：$x^k = x^r$
* 这个结论我们在命题 2.4.2(c) 的证明中已经推导过。
* $x^k = x^{nq+r} = x^{nq} \cdot x^r = (x^n)^q \cdot x^r = 1^q \cdot x^r = 1 \cdot x^r = x^r$。
* 意义：这个性质极其有用，它意味着要计算任意高次幂的 $x^k$，我们只需要计算 $x$ 的 $0$ 到 $n-1$ 次幂。它把无限的计算问题化为了有限的问题。
* 第二点：$x^k=1$ 当且仅当 $r=0$
* $x^k=1 \iff x^r=1$ (根据第一点)。
* 我们知道 $x$ 的阶是 $n$，所以 $x^m=1$ 的充要条件是 $n$ 整除 $m$ (即 $m \in n\mathbb{Z}$)。
* 所以，$x^r=1 \iff n$ 整除 $r$。
* 但我们已知 $0 \le r < n$。在这个范围内的整数 $r$，唯一能被 $n$ 整除的就是 $0$ 本身。
* 所以，$n$ 整除 $r \iff r=0$。
* 结论：$x^k=1$ 当且仅当 $k$ 除以 $n$ 的余数是 $0$，换句话说，当且仅当 $k$ 是 $n$ 的倍数。这与我们对集合 $S=n\mathbb{Z}$ 的理解是完全一致的。
* 第三点：$x^k$ 的阶是 $n/d$
* 这是三点中最深刻、最重要的一个结论。它告诉我们如何计算一个元素的幂的阶。
* 设 $y = x^k$。我们想找 $y$ 的阶，也就是找最小的正整数 $m$ 使得 $y^m=1$。
* $y^m = (x^k)^m = x^{km} = 1$。
* 根据第二点的结论，这等价于 $n$ 整除 $km$。
* 我们已知 $d = \gcd(k, n)$。所以我们可以写成 $k = da$ 和 $n=db$，其中 $a$ 和 $b$ 是整数，且 $\gcd(a, b)=1$（即 $a,b$ 互质）。
* $n$ 整除 $km$ 就变成了 $db$ 整除 $(da)m$。
* 两边消去 $d$，得到 $b$ 整除 $am$。
* 因为 $b$ 和 $a$ 互质，根据数论中的欧几里得引理，如果 $b$ 整除 $am$，那么 $b$ 必须整除 $m$。
* 我们要求的是最小的正整数 $m$。满足“$b$ 整除 $m$”的最小正整数 $m$ 自然就是 $b$ 本身。
* 所以，$m_{min} = b$。
* $b$ 是什么？从 $n=db$ 中解出 $b = n/d$。
* 结论：$x^k$ 的阶就是 $n/d = n/\gcd(k, n)$。
示例：$\mathbb{Z}_{12}$ 中的加法群
* 群：$(\mathbb{Z}_{12}, +) = (\{0, 1, \ldots, 11\}, + \pmod{12})$。
* 元素：我们选择生成元 $x=1$。它的阶是 $n=12$，因为需要 12 个 1 相加才能第一次得到 0 (模12)。
* 现在我们来研究它的“幂”，也就是倍数。比如，我们想知道 $k=8$ 时，元素 $8 \cdot 1 = 8$ 的阶是多少。
* 应用命题 2.4.3：
* $x=1$, $n=12$, $k=8$。
* $d = \gcd(k, n) = \gcd(8, 12) = 4$。
* 命题预测元素 $8$ 的阶是 $n/d = 12/4 = 3$。
* 手动验证：
* $1 \cdot 8 = 8$
* $2 \cdot 8 = 16 \equiv 4 \pmod{12}$
* $3 \cdot 8 = 24 \equiv 0 \pmod{12}$。
* 我们发现，最小的正整数 $m$ 使得 $m \cdot 8 = 0$ 是 $m=3$。
* 验证成功！元素 $8$ 在 $\mathbb{Z}_{12}$ 中的阶确实是 $3$。
另一个例子：$x^9$ 的阶
* $x=1, n=12, k=9$。
* $d = \gcd(9, 12) = 3$。
* 预测元素 $9$ 的阶是 $12/3 = 4$。
* 手动验证：
* $1 \cdot 9 = 9$
* $2 \cdot 9 = 18 \equiv 6$
* $3 \cdot 9 = 27 \equiv 3$
* $4 \cdot 9 = 36 \equiv 0$。
* 验证成功！阶是 $4$。
一个推论：$\langle x^k \rangle = \langle x^d \rangle$
* 这个命题有一个重要的推论：由 $x^k$ 生成的子群和由 $x^d$ (其中 $d=\gcd(k,n)$) 生成的子群是同一个。
* 在上面的例子中，$\gcd(8, 12)=4$。$\langle 8 \rangle = \{0, 8, 4\}$。$\langle 4 \rangle = \{0, 4, 8\}$。两者是同一个子群。
* $\gcd(9, 12)=3$。$\langle 9 \rangle = \{0, 9, 6, 3\}$。$\langle 3 \rangle = \{0, 3, 6, 9\}$。两者也是同一个子群。
* 特别地，一个元素 $x^k$ 能生成整个群 $\langle x \rangle$ (即 $\langle x^k \rangle = \langle x \rangle$)，当且仅当 $x^k$ 的阶是 $n$。这需要 $n/\gcd(k,n) = n$，意味着 $\gcd(k,n)=1$。也就是说，当 $k$ 与 $n$ 互质时，$x^k$ 也是群 $\langle x \rangle$ 的一个生成元。
* 在 $\mathbb{Z}_{12}$ 中，与 12 互质的数是 $1, 5, 7, 11$。所以 $1, 5, 7, 11$ 都是 $\mathbb{Z}_{12}$ 的生成元。
* 公式 $n/d$ 的适用范围：这个公式只对有限阶 元素的幂有效。如果 $x$ 是无限阶，它的任何非零次幂 $x^k$ ($k \neq 0$) 也都是无限阶。
* 最大公约数的重要性：不要忘记计算 $d=\gcd(k, n)$。不能简单地用 $k$ 或其他数字来猜测阶。
* $k$ 可以是任何整数：$k$ 可以是负数或零。$\gcd(k, n)$ 通常定义为正数，例如 $\gcd(-8, 12) = 4$。
命题 2.4.3 提供了处理有限阶 元素 $x$ (设阶为 $n$) 的幂 $x^k$ 的三个强大工具：
1. 任何高次幂 $x^k$ 都可以被简化为 $x^r$，其中 $r$ 是 $k$ 除以 $n$ 的余数。
2. $x^k$ 等于单位元的条件是 $k$ 是 $n$ 的倍数。
3. $x^k$ 这个新元素的阶，可以通过一个简单的公式 $n / \gcd(k, n)$ 计算出来。
这个命题极大地增强了我们的计算和分析能力。它使得我们不必每次都通过暴力计算来求一个元素的幂的阶，而是可以通过纯数论的运算（求最大公约数）来直接得到答案。这揭示了循环群的结构与初等数论之间深刻而优美的联系。它也为我们快速找到一个有限循环群的所有生成元提供了理论依据。
想象一个有 $n$ 个齿的齿轮（代表 $\langle x \rangle$），和一个有 $k$ 个齿的齿轮。让它们啮合转动。
* $n$ 齿轮转一圈，代表 $x^n=1$。
* $k$ 齿轮上有一个标记，我们想知道这个标记（代表 $x^k$）要转多少圈才能第一次回到初始位置。
* $d=\gcd(k, n)$ 代表两个齿轮能良好啮合的“节”的数量。
* $k$ 齿轮上的标记回到初始位置，需要 $k$ 齿轮转 $m$ 圈，使得总齿数 $km$ 是 $n$ 的倍数。
* 这个最小的 $m$ 就是 $n/d$。可以想象成，在 $n$ 齿轮转 $k/d$ 圈的同时，$k$ 齿轮转了 $n/d$ 圈，两个齿轮都回到了初始状态。
想象两个跑步者在一个 $n$ 米长的圆形跑道上赛跑。
* 跑道代表群 $\langle x \rangle$。
* 第一个跑者是 $x$，他的速度是每秒1米，跑一圈要 $n$ 秒（$x$ 的阶是 $n$）。
* 第二个跑者是 $x^k$，他的速度是每秒 $k$ 米。
* 我们想知道第二个跑者跑几秒能第一次回到起点。
* 他跑 $m$ 秒走过的路程是 $km$ 米。要回到起点，路程必须是跑道长度 $n$ 的整数倍。
* 我们要找最小的正数 $m$ 使得 $km$ 是 $n$ 的倍数。
* 这个 $m$ 正是 $n / \gcd(k,n)$。
也可以谈论由子集 $U$ 生成的群 $G$ 的子群。这是包含 $U$ 的 $G$ 的最小子群，它由 $G$ 中所有可以表示为 $U$ 的元素及其逆元的字符串乘积的元素组成。如果 $G$ 的每个元素都是这样的乘积，则称 $U$ 是 $G$ 的生成集。例如，我们在 (2.2.7) 中看到集合 $U=\{x, y\}$ 生成了对称群 $S_{3}$。初等矩阵生成 $G L_{n}$ (1.2.16)。在这两个例子中，不需要逆元。这并非总是如此。无限循环群 $\langle x\rangle$ 由元素 $x$ 生成，但需要负幂来填充群。
1. 从单个元素到子集：我们之前讨论的都是由单个元素 $x$ 生成的循环子群 $\langle x \rangle$。现在，我们将这个概念推广到由一个元素的子集 $U$ 来生成。$U$ 可以包含一个、两个或任意多个元素。
2. 由 U 生成的子群 $\langle U \rangle$：
* 定义：由子集 $U$ 生成的子群，记作 $\langle U \rangle$，是包含 $U$ 的 $G$ 的最小子群。
* “最小”的含义：和之前一样，这意味着如果 $K$ 是任何一个包含 $U$ 的子群（即 $U \subseteq K$），那么必然有 $\langle U \rangle \subseteq K$。
* 如何构造：$\langle U \rangle$ 的元素是什么样的？它们是所有通过有限次地组合 $U$ 中的元素以及它们的逆元所能得到的一切。一个典型的元素形式是 $u_1^{a_1} u_2^{a_2} \cdots u_m^{a_m}$，其中每个 $u_i$ 都来自 $U$，每个 $a_i$ 都是整数（可以是正、负或零）。这种有限长度的乘积被称为“字符串乘积”或“词”。
3. 生成集 (Generating Set)：如果由子集 $U$ 生成的子群恰好是整个群 $G$ 本身，即 $\langle U \rangle = G$，那么我们称 $U$ 是 $G$ 的一个生成集。这意味着 $G$ 中的每一个元素都可以表示为 $U$ 中元素及其逆元的有限乘积。
4. 示例分析：
* 对称群 $S_3$：原文提到 $U=\{x, y\}$ 生成 $S_3$。这里的 $x$ 和 $y$ 通常指 $x=\rho$ (旋转120度) 和 $y=\mu$ (翻转)。$S_3$ 的六个元素 $\{e, \rho, \rho^2, \mu, \mu\rho, \mu\rho^2\}$ 都可以通过 $\rho$ 和 $\mu$ 的组合得到，例如 $\mu\rho^2 = yx^2$。这里不需要逆元，因为 $\rho^{-1}=\rho^2$ 而 $\mu^{-1}=\mu$，它们本身就可以通过 $x, y$ 的乘积表示出来。
* 一般线性群 $GL_n$：$GL_n$（所有 $n \times n$ 可逆矩阵）可以由初等矩阵生成。这意味着任何可逆矩阵都可以写成一系列初等矩阵的乘积。这个事实是高斯消元法的基础。在这个例子中，初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵，所以也不需要显式地写出逆元。
* 需要逆元的例子：原文指出了无限循环群 $\langle x \rangle$。它的生成集是 $U=\{x\}$。要得到像 $x^{-2}$ 这样的元素，你必须用到 $x$ 的逆元 $x^{-1}$。所以，尽管生成集只包含 $x$，但构造整个群时必须允许使用逆元。
示例：二面体群 $D_4$
* $D_4$ 是正方形的对称群，有8个元素。
* 设 $r$ 为顺时针旋转90度， $s$ 为关于一条对角线的翻转。
* $U = \{r, s\}$ 是 $D_4$ 的一个生成集。
* $D_4 = \{e, r, r^2, r^3, s, sr, sr^2, sr^3\}$。所有元素都可以由 $r$ 和 $s$ 生成。
* 这里 $r$ 的阶是4 ($r^4=e$)，$s$ 的阶是2 ($s^2=e$)。并且它们满足关系 $rs = sr^{-1} = sr^3$。
* 我们不需要显式地使用 $r^{-1}$ 或 $s^{-1}$，因为 $r^{-1}=r^3$，$s^{-1}=s$，它们已经可以被 $r,s$ 表示了。
* 生成集不是唯一的：一个群可以有很多不同的生成集。例如，对于循环群 $\mathbb{Z}_n$，任何与 $n$ 互质的数 $k$ 都可以作为生成元，所以 $\{k\}$ 都是一个生成集。对于非循环群，选择就更多了。
* 最小生成集：我们通常对寻找元素个数最少的生成集感兴趣。例如 $S_3$ 可以由 $\{\rho, \mu\}$ 生成，也可以由 $\{e, \rho, \rho^2, \mu, \mu\rho, \mu\rho^2\}$ (整个群) 生成，但前者更简洁。
* 生成不等于交换：$U=\{x, y\}$ 生成一个群，不代表群里的元素都可以写成 $x^a y^b$ 的形式。元素的顺序很重要。例如，在 $S_3$ 中，$\rho\mu \neq \mu\rho$。所以 $\langle U \rangle$ 中的元素是形如 $u_1 u_2 \ldots u_m$ 的词，其中 $u_i$ 来自 $U \cup U^{-1}$ ($U^{-1}$ 是 $U$ 中所有元素的逆元构成的集合)。
本段将“由单个元素生成”的概念推广为“由一个子集 $U$ 生成”。由 $U$ 生成的子群 $\langle U \rangle$ 是包含 $U$ 的最小子群，其元素是 $U$ 中元素及其逆元的所有有限乘积。如果 $\langle U \rangle = G$，则 $U$ 是 $G$ 的一个生成集。
这个推广是至关重要的。虽然循环群很简单，但大多数群都不是循环群，无法由单个元素生成。为了描述和研究这些更复杂的群（如 $S_3$, $GL_n$ 等），我们需要引入由多个元素构成的生成集的概念。这使得我们可以用一小部分关键元素来抓住整个群的结构，这在群的表示理论和计算群论中是基本思想。
想象你在玩乐高积木。
* 生成集 $U$：你手里的一套基本积木块（比如红色的2x2块，蓝色的1x4块）。
* 群运算：将积木拼接在一起。
* 逆元：拆开积木块的操作。
* $\langle U \rangle$：用你手里的这套基本积木块，通过拼接和拆解，所有你能创造出来的最终作品的集合。
* $G$ 是生成集：如果你的基本积木库里包含了所有可能形状的积木，那么你能创造的也就是这些积木本身。
想象一套语言的字母表 $U$。
* 生成集 $U$：字母表，比如 $\{a, b, c, \ldots, z\}$。
* 逆元：可能没有直接对应，但可以想象成“删除一个字母”的操作。
* $\langle U \rangle$：所有由这些字母能组成的有限长度的单词。
* 这个比喻不完全精确，因为群里有“化简规则”（如 $x \cdot x^{-1} = 1$），而单词 word 后面接 drow 并不会消失。但它有助于理解如何从一小部分基本单元构建一个庞大的集合。
克莱因四元群 $V$，由四个矩阵组成：
是非循环的最简单群。它除了单位元之外的任意两个元素都生成 $V$。四元数群 $H$ 是另一个小群的例子。它由八个矩阵组成：
其中
这些矩阵可以通过将物理中的泡利矩阵乘以 $i$ 来获得。元素 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 生成 $H$。计算得出公式：
这部分给出了两个重要的、阶数很小的非循环群的例子。
1. 克莱因四元群 (Klein Four-Group) V
* 元素：这个群有4个元素。原文用矩阵表示它们。[ ±1 ; ±1 ] 是一种简写，意思是对角线上的元素可以独立地取 +1 或 -1。展开来就是：
* $e = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ (单位元)
* $a = \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
* $b = \left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]$
* $c = \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & -1}\end{array}\right]$
* 群的性质：
* $a^2 = \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = e$。所以 $a$ 的阶是2。
* 同理，$b^2 = e$，$c^2 = e$。
* $ab = \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] = c$。
* 同样可以验证 $ba=c$, $ac=b$, $ca=b$, $bc=a$, $cb=a$。这是一个阿贝尔群（交换群）。
* 为什么是非循环的？：
* 一个群是循环群，当且仅当它存在一个生成元。这个生成元的阶必须等于群的阶。
* $V$ 的阶是4。
* $V$ 中元素的阶：$e$ 的阶是1，$a, b, c$ 的阶都是2。
* 没有任何一个元素的阶是4。
* 因此，$V$ 中不存在生成元，$V$ 是非循环的。
* 最简单的非循环群：所有阶为1, 2, 3 的群都是循环群。阶为4的群只有两种（同构意义下）：循环群 $\mathbb{Z}_4$ 和克莱因四元群 $V$。所以 $V$ 是最小的（在阶数意义上）非循环群。
* 生成集：任意两个非单位元的元素都可以生成 $V$。例如，取 $U=\{a, b\}$。
* $\langle a, b \rangle$ 中必须包含 $e, a, b$。
* 它也必须包含 $ab=c$。
* 所以 $\langle a, b \rangle$ 包含了 $\{e, a, b, c\}$，也就是整个群 $V$。
2. 四元数群 (Quaternion Group) H
* 元素：这是一个阶为8的非阿贝尔群（非交换群）。它的元素是 $H = \{\mathbf{1}, -\mathbf{1}, \mathbf{i}, -\mathbf{i}, \mathbf{j}, -\mathbf{j}, \mathbf{k}, -\mathbf{k}\}$。这里的 $-\mathbf{1}$ 是 $-I$，$-\mathbf{i}$ 是矩阵 $\mathbf{i}$ 乘以-1，以此类推。
* 矩阵表示：给出了 $\mathbf{1}, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 的具体 $2 \times 2$ 复数矩阵。
* $\mathbf{1}$ 是单位矩阵。
* 注意 $\mathbf{i}$ (粗体) 是一个矩阵，而 $i$ (斜体) 是复数 $\sqrt{-1}$。
* 与泡利矩阵的关系：泡利矩阵是物理学中描述自旋的三个矩阵 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$。可以验证 $\mathbf{i} = i\sigma_2$, $\mathbf{j} = i\sigma_1$, $\mathbf{k} = i\sigma_3$（这里的对应关系可能因约定而异，但本质是相关的）。这是一个有趣的跨学科联系。
* 核心关系式 (2.4.6)：这些是定义四元数群的关键规则，比矩阵表示更常用。
* $\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=-\mathbf{1}$：这说明 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 的阶都是4。因为 $(\mathbf{i}^2)^2 = (-\mathbf{1})^2 = \mathbf{1}$。
* $\mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k}, \mathbf{j}\mathbf{i}=-\mathbf{k}$：这立刻说明群是非阿贝尔的，因为 $\mathbf{i}\mathbf{j} \neq \mathbf{j}\mathbf{i}$。
* 其他的关系 $\mathbf{j}\mathbf{k}=\mathbf{i}, \mathbf{k}\mathbf{j}=-\mathbf{i}, \mathbf{k}\mathbf{i}=\mathbf{j}, \mathbf{i}\mathbf{k}=-\mathbf{j}$ 呈现出一种循环对称性。
* 为什么是非循环的？：$H$ 的阶是8。但它的元素的阶是：$\mathbf{1}$ 的阶是1，$-\mathbf{1}$ 的阶是2，其他六个元素 $\pm\mathbf{i}, \pm\mathbf{j}, \pm\mathbf{k}$ 的阶都是4。没有元素的阶是8，所以 $H$ 是非循环的。
* 生成集：原文指出 $\{\mathbf{i}, \mathbf{j}\}$ 是一个生成集。
* $\langle \mathbf{i}, \mathbf{j} \rangle$ 包含 $\mathbf{i}, \mathbf{j}$。
* 包含它们的幂：$\mathbf{i}^2=-\mathbf{1}$, $\mathbf{i}^3=-\mathbf{i}$, $\mathbf{i}^4=\mathbf{1}$。以及 $\mathbf{j}$ 的幂。
* 包含它们的乘积：$\mathbf{ij}=\mathbf{k}$。
* 有了 $\mathbf{k}$ 和 $-\mathbf{1}$，就可以得到 $-\mathbf{k}, -\mathbf{j}$。
* 最终可以凑齐所有8个元素。
克莱因四元群的另一个模型
* 考虑集合 $\{ (0,0), (1,0), (0,1), (1,1) \}$，运算是分量逐个相加（模2）。
* $e=(0,0), a=(1,0), b=(0,1), c=(1,1)$。
* $a+b = (1,0)+(0,1) = (1,1) = c$。
* $a+a = (1,0)+(1,0) = (2 \pmod 2, 0 \pmod 2) = (0,0)=e$。
* 这构成了与克莱因四元群同构的群。
四元数群的计算
* 验证 $\mathbf{i}\mathbf{j} = \mathbf{k}$：
* $\mathbf{i}\mathbf{j} = \left[\begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} i \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & i \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + (-i) \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + (-i) \cdot 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 0 & i \\ i & 0 \end{array}\right] = \mathbf{k}$。
* 验证 $\mathbf{j}\mathbf{i} = -\mathbf{k}$：
* $\mathbf{j}\mathbf{i} = \left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 \cdot i + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-i) \\ -1 \cdot i + 0 \cdot 0 & -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-i) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 0 & -i \\ -i & 0 \end{array}\right] = -\mathbf{k}$。
* 不要把四元数群和 $\mathbb{Z}_8$ 混淆：它们都是8阶群，但 $\mathbb{Z}_8$ 是循环的（也是阿贝尔的），而 $H$ 是非循环、非阿贝尔的。这是两个结构完全不同的群。
* 记住关系式 (2.4.6)：对于四元数群，这组关系式是它的灵魂。死记硬背可能困难，但可以借助助记法：想象 $\mathbf{i} \to \mathbf{j} \to \mathbf{k} \to \mathbf{i}$ 是一个顺时针的环。两个相邻元素顺时针相乘得到下一个，如 $\mathbf{ij}=\mathbf{k}$。逆时针相乘则得到负号，如 $\mathbf{ji}=-\mathbf{k}$。
本段介绍了两个重要的非循环群：克莱因四元群 $V$ 和四元数群 $H$。
* $V$ 是最小的非循环群，阶为4，阿贝尔群。其所有非单位元的阶都是2。
* $H$ 是一个阶为8的非阿贝尔群。它由关系式 $\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{ijk}=-\mathbf{1}$（这是(2.4.6)的紧凑形式）定义。
这两个例子丰富了我们对“群”的认知，表明群的世界远比循环群要复杂和有趣。
提供这两个经典的例子是为了说明：
1. 非循环群是真实存在的，而且在很小的阶数就已经出现。
2. 非阿贝尔群也是真实存在的，四元数群就是除了 $S_3$（阶为6）之外最小的例子之一。
3. 展示了如何用生成元和它们之间的关系来定义一个群，这是群的“表示”理论的开端。
4. 将抽象的群概念与矩阵、复数甚至物理学联系起来，展示了群论应用的广泛性。
* 克莱因四元群 V：想象一个房间里有三个电灯开关，分别控制红、绿、蓝三盏灯。但开关是联动的。$a$ 是拨动红灯开关， $b$ 是拨动绿灯开关，$c$ 是拨动蓝灯开关。但设计是 $a \cdot b = c$，即同时拨动红灯和绿灯的效果，等于只拨动蓝灯。每个开关拨动两次都会回到原状。这是一个阿贝尔系统。
* 四元数群 H：想象你在三维空间中旋转一个物体（比如一本书）。
* $\mathbf{i}$：绕X轴旋转180度。
* $\mathbf{j}$：绕Y轴旋转180度。
* $\mathbf{i}^2$：绕X轴转两次，回到原状。但这里的模型是 $\mathbf{i}^2=-\mathbf{1}$，代表一种“翻面”的状态。
* $\mathbf{ij} \neq \mathbf{ji}$：先绕X轴转，再绕Y轴转；和先绕Y轴转，再绕X轴转，书的最终朝向是不同的。这体现了非交换性。四元数与三维旋转密切相关，但这里的 $H$ 模型只是一个简化的、抽象的代数结构。
* 克莱因四元群 V：想象一张长方形纸片（非正方形）。它的对称操作只有：不动（$e$），水平中轴翻转（$a$），竖直中轴翻转（$b$），以及旋转180度（$c$）。你可以验证 $a^2=e, b^2=e, c^2=e$ 以及 $ab=c$。这就是 $V$。
* 四元数群 H：这个很难找到简单的物理模型完全对应，因为它有一个独特的 $-\mathbf{1}$ 元素，它和所有元素都交换，并且是 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 的平方。最好的理解方式还是回归到它的定义关系式(2.4.6)和那个 $\mathbf{i} \to \mathbf{j} \to \mathbf{k}$ 的助记环。
1. 公式 (2.4.1)：
\left[\begin{array}{ll}
\pm 1 & \tag{2.4.4}\\
& \pm 1
\end{array}\right],
\begin{equation*}
H=\{ \pm \mathbf{1}, \pm \mathbf{i}, \pm \mathbf{j}, \pm \mathbf{k}\}, \tag{2.4.5}
\end{equation*}
解释：该公式列出了四元数群 $H$ 的八个元素。
4. 公式 (2.4.6)：